الاشتقاق في الرياضيات!
الاشتقاق في الرياضيات تشمل الرياضيات العديد من العلوم الفرعية، وخاصة العلوم مثل الجبر والهندسة وحساب التفاضل والتكامل والميكانيكا والإحصاء. قد يجد بعض الطلاب صعوبة في فهم مجالات معينة من الرياضيات، وخاصة فصول الرياضيات المتعلقة بالوظائف والمشتقات وقوانينها .
عبر موقع بسيط دوت كوم نطلعك علي كل ما يخص الاشتقاق في الرياضيات.
الاشتقاق في الرياضيات
في البداية، يجب أن نعرف ما هو الميل، حيث أنه يعبر عن مقدار التغيير بكميتين، على سبيل المثال إذا تم الإشارة إلى القيمة الأولى بالرمز X والثانية بالرمز Y فإن الميل هو مقدار التغيير في قيمة Y على مقدار التغيير في قيمة X
وهكذا يمكننا تحديد الميل من خلال حساب مقدار التغيير في أي قيمتين، ولكن من خلال رسم الإحداثي بين المحور x والمحور y لنقطة واحدة، لا يمكننا تقدير الميل الذي تقترب إزاحته من الصفر، وهنا يتم استخدام المشتقات.
تعريف المشتقات
المشتقات هي إحدى الطرق الرياضية المستخدمة لإيجاد قيمة التغيير اللحظي في الكمية، وفقًا لذلك يتم تعريف الوظيفة المشتقة على أنها ميل الظل للمنحنى f (X) ويتم ملاحظتها في أي نقطة.
- وبالتالي، فإن مقدار التغيير في قيمة X هو: X + DX
- ومقدار التغير في قيمة Y هو: Y + DY
- هنا قيمة الميل = Y + DY / X + DX
قواعد الاشتقاق في الرياضيات
يتم الاشتقاق أو التمايز في الرياضيات من خلال مجموعة من القوانين الرياضية والقواعد المهمة، إحدى القواعد الأساسية للمشتقات هي القاعدة المعروفة بقاعدة السلسلة، والتي تنص على: لو كانت ص = د (س)ن فـ إن صَ = ن [ د (س) ن-1 × دَ (س) ].
قاعدة ثابتة
إذا كانت د (س) = 3 ، فهذا دليل على أن هذه الدالة تأتي بخط أفقي ليس له ميل ، وبالتالي تكون قيمة التغير = صفر .
قاعدة جمع وطرح المشتقات
- إذا كانت د(س) = ق (س) + هـ (س) ، فإن د(س) = ق (س) + هـ (س) ؛ بشرط أن تكون قابلة للاشتقاق عند س
قاعدة ضرب المشتقات
تنص على إذا الدالة كانت تأتي من كميتين بشرط أن تكون الدالة قابلة للاشتقاق؛ سيكون القانون على النحو التالي:
- مثال: لو ع = د (ص) × ق (س)
- فإن مشتقة ع = [ مشتقة د (س) × ق (س) ] + [ د (س) × مشتقة ق (س)
- ويمكن صياغة القانون نصيًا على أن مشتقة حاصل ضرب دالتين = [ مشتقة الأولى × الثانية + الأولى × مشتقة الثانية ]
قاعدة قسمة المشتقات
لو كان ع (س)، ك (س) قابلتين للاشتقاق وكانت ك (س) لا تساوي 0؛ فإن مشتقة ناتج القسمة تكون :
- دالة (س) = ك (س) / ع (س)
ويكون اشتقاق الدالة :
- دَ (س) = [ مشتقة ع (س) × ك (س) ] – [ مشتقة ك (س) × ع(س) ] / [ك(س)]2
أمثلة محلولة على المشتقات
- مثال1 : إذا كانت د(س) = 4س3 + 3 س2 + س + 2 ؛ أوجد مشتقة الدالة .
- جـ1: دَ(س) = 12 س (3 – 1) + 6 س (2 – 1) + س (1 – 1) + 0
- = 12 س2 + 6س1 + س0
- = 12 س2 + 6س + 1